Komplexe Zahlen
Die Lösung der Gleichung x2 = -1 ist keine reelle Zahl, da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ sein kann. Will man die Gleichung nun nach x auflösen, so zieht man die Quadratwurzel aus -1. Man definiert i = &radic(-1) als die »Imaginäre Einheit«. Somit kann man die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ausdrücken:
Eine komplexe Zahl besteht aus zwei Teilen: dem Realteil (Re) und dem Imaginärteil (Im). Es existieren verschiedene Schreibweisen, um komplexe Zahlen darzustellen. Die wohl gebräuchlichste ist diese Form:
z = Re(z) + i⋅Im(z)
Für das obige Beispiel 3i wäre die exakte Schreibweise also:
3i = 0 + 3i
Jede reelle Zahl kann als komplexe Zahl geschrieben werden, indem der Imaginärteil praktisch weggelassen wird:
8 = 8 + 0i
Eine andere Schreibweise für komplexe Zahlen ist die »Paarschreibweise«: Der Real- und Imaginärteil wird einfach als Zahlenpaar geschrieben:
z = (Re, Im)
2 + 8i = (2, 8)
Da eine komplexe Zahl aus einem Zahlenpaar (Re, Im) besteht, lässt sie sich weder auf einem Zahlenstrahl darstellen noch lassen sich komplexe Zahlen vergleichen (<, >, =).
Man kann komplexe Zahlen jedoch in einem speziellen Koordinatensystem — der »komplexen Ebene« — darstellen. Der Realteil entspricht hierbei der x-Koordinate, der Imaginärteil der y-Koordinate.
Der Betrag einer komplexen Zahl
Komplexe Zahlen lassen sich in einem Koordinatensystem darstellen. Der Betrag der komplexen Zahl z stellt den Abstand zum Nullpunkt des Koordinatensystems dar:
Der Betrag dieser komplexen Zahl (z = Re + i⋅Im) lässt sich — hergeleitet aus dem Satz des Pythagoras — mit der folgenden Formel berechnen:
Die imaginäre Einheit i fällt hierbei also heraus. Für das obige Beispiel wäre der Betrag also
Multiplikation komplexer Zahlen
Es sind die beiden komplexen Zahlen z1 = a + i⋅b und z2 = c + i⋅d gegeben und sollen miteinander multipliziert werden. Dies geschieht wie gewohnt und unter Beachtung, dass i2 = -1.
z1⋅z2
= (a + i⋅b)⋅(c + i⋅d)
= a⋅c + i⋅a⋅d + i⋅b⋅c + i2⋅b⋅d
= a⋅c - b⋅d + i⋅(a⋅d + b⋅c)
Das reicht für’s Erste. Um Mandelbrotmengen darstellen zu können, genügt die Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl und die Bildung des Produktes zweier komplexer Zahlen. Mehr zu dem Thema gibt es in der Wikipedia.
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