Chaos und Fraktale

Diese Belegarbeit befasst sich mit den Grundlagen des Chaos, mit dem wir unter anderem täglich zu kämpfen haben, ohne es überhaupt als solches wahrzunehmen, sowie mit Fraktalen: selbstähnlichen Gebilden, die aus einer einfachen Handvoll Regeln entstehen und nebenbei auch noch sehr schön aussehen können. Hier kratzt diese Arbeit lediglich ein bisschen an der Oberfläche — es gibt tausende von Fraktalen, nach denen es sich wenigstens einmal zu googlen lohnt.

1. Einleitung
2. Chaotische Systeme
	2.1 Lineare Systeme
	2.2 Rückkopplung und Iteration
	2.3 Nichtlineare Systeme
	2.4 Attraktoren
		2.4.1 Punktattraktoren
		2.4.2 Grenzzyklen
		2.4.3 Seltsame Attraktoren
3. Fraktale
	3.1 Eigenschaften von Fraktalen
	3.2 Konstruktion mit Hilfe von Initiatoren und Generatoren
	3.3 Selbstähnlichkeit
	3.4 Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension
	3.5 Die Mandelbrotmenge — Ein berühmtes Fraktal
4. Nachwort
5. Quellen

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Für die Mandelbrotmenge gibt es den Mandelbrot Calculator.

1. Einleitung

Wir leben in einer chaotischen Welt, in der selbst die kleinsten Ereignisse eine große Wirkung erzielen können. Einer der ersten Wissenschaftler, der diesen Umstand entdeckte und näher erforschte, war der Meteorologe Edward Lorenz. Im Jahre 1963 ließ er ein Programm zur Berechnung der Windverhältnisse anhand eines konkreten Wettermodells laufen. Ein Zwischenergebnis des Programms lautete 0,506127. Lorenz ließ das Programm einmal mit diesem Zwischenergebnis weiterlaufen und startete es zusätzlich noch einmal mit einem Näherungswert dieses Zwischenergebnisses: 0,506. Dieser Unterschied von einem Hundertstel Prozent führte im Endeffekt nach einem bestimmten Zeitraum zu einem vollkommen anderen Wetter. Man nennt diesen Effekt den Schmetterlingseffekt, weil dieser Unterschied in den Anfangsbedingungen in etwa den Luftdruckveränderungen entspricht, die ein Schmetterling mit seinem Flügelschlag bewirkt.

Ein Problem bei der Berechnung von Prozessen wie dem Wetter oder den Turbulenzen, die in einer Flugzeugturbine auftreten, ist, dass wir nie alle Faktoren kennen, die diese Systeme beeinflussen. Um seine Umwelt zu erfassen und zu beschreiben, verwendet der Mensch einfache geometrische Formen wie gerade Linien oder Kreisbögen, die allerdings nie exakt die Wirklichkeit widerspiegeln. Das wohl berühmteste Beispiel für dieses Problem ist die Frage nach der Länge der Küste Großbritanniens. Nimmt man einen Atlas und vermisst mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals die Küstenlinie, so erhält man einen ungefähren Wert. Allerdings erfasst man mit dieser Methode nur größere Buchten, nicht aber kleinere Details. Als Lösung könnte man nun mit Hilfe eines Laufrades die gesamte Küste ablaufen, was ein Ergebnis liefern würde, das weitaus über dem mit Hilfe des Atlasses gewonnen läge, aber auch mit dieser Methode erfasst man nicht die exakte Struktur eines jeden Felsens, der am Strand liegt. Würde man nun alle Sandkörner zählen, die an der Grenze zum Meer liegen — durch die Brandungswellen ist dies natürlich unmöglich — erhielte man wiederum ein viel genaueres, aber noch nicht exaktes Ergebnis, denn auch auf atomarer Ebene gibt es jede Menge Unregelmäßigkeiten und Zerklüftungen.
Da die Zerklüftung von Gegenständen unserer Natur theoretisch bis ins Unendliche reicht, müsste man also sagen, die Küste von Großbritannien sei unendlich lang. Die Natur setzt hier allerdings Grenzen, wie wir später sehen werden.

Diese Arbeit soll aufzeigen, wie chaotische Systeme erfasst und simuliert werden können und anhand von Computerprogrammen einen Einblick in geometrische Figuren mit unendlicher Komplexität — den so genannten Fraktalen — gewähren. Außerdem soll sie aufzeigen, wie mit Hilfe von wenigen und einfachen mathematischen Regeln äußerst komplexe Figuren entstehen können.

2. Chaotische Systeme

2.1 Lineare Systeme

Aus Lorentz’ Erfahrungen mit dem Schmetterlingseffekt kann man schließen, dass sich eine Veränderung der Anfangsbedingungen auf die Entwicklung eines Systems auswirken kann (aber nicht muss). Ein Stein, der aus einer bestimmten Höhe fallen gelassen wird, erreicht entsprechend der Fallbeschleunigung eine gewisse Endgeschwindigkeit vor dem Aufschlag auf dem Erdboden. Ändert man die Anfangsbedingungen, indem man den Stein aus einer größeren Entfernung zum Boden fallen lässt, sind seine Endgeschwindigkeit und auch seine Aufschlagskraft höher.

Dies allerdings lässt sich sehr gut berechnen und hat bei weitem nichts mit Chaos zu tun. Der Weg und die Geschwindigkeit des Steins lassen sich ohne Probleme vorhersagen. Es besteht eine Proportionalität zwischen Abwurfhöhe und Endgeschwindigkeit, und somit sind die Auswirkungen von Abweichungen bei den Anfangsbedingungen berechenbar. Solche Systeme bezeichnet man als linear: die aus der Änderung der Anfangbedingungen erwachsenen Unterschiede entwickeln sich linear.
Man spricht hier auch von der starken Kausalität, die besagt, dass ähnliche Ursachen ähnliche Wirkungen hervorrufen.

2.2 Rückkopplung und Iteration

Abb. 2.2: Rückkopplung am Fernsehgerät Das Prinzip der Rückkopplung kann recht verständlich am Beispiel der Videorückkopplung demonstriert werden. Eine Videokamera sendet ein Videosignal zu einem Fernseher, welcher das empfangene Bild darstellt. Wird die Kamera nun auf den Bildschirm gerichtet, so wandelt sie ein Bild des Fernsehgerätes in ein elektrisches Signal um und sendet es zum Bildschirm.

Auf dem Schirm entsteht nun ein Bild des Fernsehapparates, und als Folge filmt die Kamera ein Bild des Monitors, der eine Abbildung seiner selbst zeigt. Dieser Prozess wird sehr oft wiederholt und da er unwahrscheinlich schnell stattfindet, entsteht auf dem Fernsehbildschirm bald ein scheinbar unendlichfach verschachteltes Bild seiner selbst (siehe Abb. 2.2).

In der Mathematik entspricht das Rückkopplungsprinzip der Iteration. Eine Funktion zu iterieren heißt, sie mit einem Startwert x₀ zu »füttern«, also ihren Funktionswert zu diesem Anfangswert zu berechnen, und diesen zurückgelieferten Wert wieder in die Funktion einzusetzen. Der in einem Schritt berechnete Wert wird also als Startwert des nächsten Schrittes verwendet.
Mathematisch kann dieser Vorgang wie folgt ausgedrückt werden:

x_n = f(x_n-1) n∈N, x∈R

Die Iteration der Funktion f(x) = x² mit einem Startwert von 2 würde also folgende Werte liefern:

x₀ = 2
x₁ = f(x₀) = x₀² = 4
x₂ = f(x₁) = x₁² = x₀⁴ = 16
x₃ = f(x₂) = x₂² = x₀⁸ = 256

Dieser spezielle Zusammenhang kann auch allgemein ausgedrückt werden, was dem Programmierer später ersparen würde, diesen Vorgang mit Hilfe einer Schleife zu realisieren:

x_n = x₀^2ⁿ

Das Programm iteration veranschaulicht die Iteration einer Funktion anhand eines Graphen. Es ermöglicht dem Anwender, folgende Funktionsform zu variieren:

[ √ sin cos tan ](a⋅(x + b)ⁿ) + d⋅x + c

Der Benutzer kann beliebige Werte für die Parameter a, b, c, d und n einsetzen und optional auf den ersten Term die Wurzelfunktion oder eine der drei Winkelfunktionen anwenden.

Im Koordinatensystem wird nun die eingegebene Funktion in rot sowie der Graph ihrer Iteration in blau dargestellt, wobei noch immer gilt n∈N und die Werte der Iterationsschritte daher nur an den natürlichen Stellen der x-Achse abgelesen werden können.

Iterative Prozesse finden allerdings nicht nur in der Mathematik ihre Anwendung, sondern sie beschreiben auch sehr gut unsere Umwelt. Die Entwicklung einer bestimmten Population, sagen wir einer Kaninchenpopulation, ist ebenfalls ein iterativer Prozess: hier bestimmt die Stärke einer Generation die der nächsten (mit der Ausnahme, dass hier noch andere Faktoren eine Rolle spielen, wie beispielsweise die Anzahl der natürlichen Feinde oder Umwelteinflüsse).

2.3 Nichtlineare Systeme

Während bei linearen Systemen Veränderungen der Anfangbedingungen nur linear anwachsende Unterschiede in den Endbedingungen zur Folge haben und sich auch nicht iterativ fortsetzen, weisen nichtlineare Systeme genau die umgekehrten Eigenschaften auf. Auch als dynamische Systeme bezeichnet verhalten sie sich sehr empfindlich gegenüber Variationen der Anfangswerte. Dadurch, dass der Zustand des Systems in einem Schritt nicht nur von den Anfangsbedingungen abhängig ist, wie dies der Fall war beim fallenden Stein, sondern ganz konkret von den Bedingungen des vorhergehenden Schrittes, verursacht der kleinste Unterschied am Anfang nach mehreren Iterationsschritten Auswirkungen, die enorm von der eigentlichen Vorhersage abweichen können. Aufgrund der im letzten Punkt verdeutlichten Iteration wachsen Unterschiede hier also exponentiell an.

Im Gegensatz zu linearen Systemen ist bei dynamischen Systemen eine Vorhersage also nur dann sinnvoll, wenn man die Bedingungen am Anfang möglichst genau kennt. Andernfalls können bereits nach kurzer Zeit extreme Abweichungen in den Berechnungen auftreten. Nach einer gewissen Zeit wird es unmöglich, die Entwicklung eines dynamischen Systems zu berechnen: man spricht hier vom Übergang ins Chaos, obwohl das System natürlich weiterhin den Naturgesetzen unterliegt und die Unmöglichkeit der Berechnung nur dadurch zustande kommt, dass wir die benötigten Parameter nicht mehr exakt erfassen können. Man spricht an dieser Stelle vom deterministischen Chaos.

Die starke Kausalität gilt hier nun nicht mehr. Ähnliche Ursachen führen nicht mehr zu ähnlichen, sondern zu ganz anderen Auswirkungen. Das wohl meistgenannte Beispiel in diesem Zusammenhang ist Billard. Eine Abweichung der Bahn, welche die Kugel einschlägt, von einem Bruchteil eines Grades setzt sich durch den gesamten Verlauf der Kugelbewegung fort und ein Fehler wächst nach jeder Kollision mit einer weiteren Kugel exponentiell an. Wissenschaftler haben berechnet, dass nach 50 Zusammenstößen mit anderen Kugeln bereits die Masse eines einzigen Elektrons am Rande der Milchstraße über die resultierende Bahn der weißen Kugel bestimmend wirken kann.

2.4 Attraktoren

2.4.1 Punktattraktoren

Lineare Systeme können die Eigenschaft aufweisen, zu einem bestimmten Punkt hingezogen zu werden. Der Stein, der fallen gelassen wird, wird von der Erde durch ihre Schwerkraft angezogen: er fällt zu Boden und bleibt dort liegen. An diesem Punkt endete die Entwicklung dieses Systems. Ein Fadenpendel bleibt aufgrund der Luftreibung irgendwann stehen und hat von da an eine kinetische Energie von Null.

Punkte, auf die sich Systeme zubewegen, nennt man Punkattraktoren, weil sie deren Kurven im Phasenraum anziehen. Als Phasenraum bezeichnet man ein Koordinatensystem, auf dessen Achsen die veränderlichen Größen eines Systems aufgetragen werden. Bei dem fallenden Stein wären das beispielsweise die Zeit und sein Abstand zum Boden. Für das Pendel könnte man seine Amplitude im Verhältnis zur vergangenen Zeit betrachten. Fakt ist, dass die Zustände dieser Systeme auf einen von ihnen »angestrebten« Zustand hinarbeiten. Für beide Fälle wäre dies Null: ein Abstand zum Boden von Null und eine maximale Auslenkung von Null.

Die Attraktoren dieser beiden Systeme sind Punktattraktoren: sie enden in einem Punkt im Phasenraum. Systeme mit Punktattraktoren verhalten sich jedoch nicht chaotisch — diese Attraktoren sind damit ein Merkmal linearer Systeme. Da der angestrebte Zustand des Systems lediglich durch einen Punkt mit genau festgelegten Koordinaten repräsentiert wird, ist die Vorhersage dieser Systeme verhältnismäßig einfach.

Auch mathematische Funktionen haben Attraktoren: die Grenzwerte. In diesem Fall sind die Attraktoren also nicht unbedingt Punkte, sondern beispielsweise Asymptoten bzw. Polstellen. Das Programm iteration kann dazu verwendet werden, die Attraktoren der Iterationen bestimmter Funktionen zu ermitteln.
So ist beispielsweise der Attraktor der Iteration der Funktion f(x) = √(x) mit beliebigem positiven Startwert x₀ die Gerade y=1:

In diesem Fall erreicht das System den Attraktor nie, dennoch wird es von ihm angezogen und er beeinflusst seine Entwicklung.

Abb. 2.4.1 zeigt den von iteration erzeugten Graphen der einzelnen Werte nach jedem Iterationsschritt (blau). Man erkennt deutlich, wie sich der blaue Graph der Geraden y=1 annähert. Rot dargestellt ist die Originalfunktion f.

2.4.2 Grenzzyklen

Grenzzyklus Betrachtet man nun die Dynamik eines ungedämpften Fadenpendels in einem zweidimensionalen Phasenraum mit zwei Achsen für die Geschwindigkeit und die Auslenkung des Pendels, so ergibt sich eine Ellipse (s. Abb. 2.4.2).
Bei maximaler Auslenkung ist die Geschwindigkeit des Pendels auf Null geschrumpft, bei einer Auslenkung von Null hingegen ist seine Geschwindigkeit maximal. Dieses System wird nicht von einem Attraktor angezogen. Daher wird dieses System als Grenzzyklus bezeichnet.

2.4.3 Seltsame Attraktoren

Die zweite große Gruppe der Attraktoren sind die seltsamen Attraktoren, die nun keine Punkte mit genau definierten Koordinaten mehr darstellen, sondern bestimmte Formen und Figuren, die sich nach einer gewissen Anzahl von Iterationen ergeben.

Der bekannteste seltsame Attraktor ist der Lorenz-Attraktor, der die Turbulenzen beschreibt, die bei der so genannten Bénard-Konvektion auftreten. In einem Experiment erwärmte der Franzose Henri Bénard (1885 – 1973) eine sehr dünne Flüssigkeitsschicht auf einer Platte. Bei einer bestimmten Temperaturdifferenz zwischen dem oberen und dem unteren Bereich der Flüssigkeit trat eine regelmäßige Konvektion auf: die Flüssigkeit stieg immer an der gleichen Stelle nach oben, wodurch sich bestimmte geometrische Muster bildeten. Je nach Temperaturdifferenz und Form des Gefäßes entstanden so Sechsecke oder Konvektionsrollen. Abbildung 2.4.3a zeigt ein Schema der Konvektionszellen.

Kovektionszellen

Edward Lorenz, der auch den in der Einleitung erwähnten Schmetterlingseffekt beschrieb, griff Bénards Experiment auf und entwickelte mit Hilfe der Navier-Stokes-Gleichungen, die ein solches System beschrieben, ein einfaches Gleichungssystem, das die Zustandsveränderung der konvergierenden Flüssigkeit beschreibt:

dx/dh = σ⋅(-x + y)
dy/dh = r⋅x - y - x⋅z
dz/dh = -b⋅z + x⋅y

Der Attraktor, der sich ergibt, wenn man dieses Gleichungssystem iteriert, ist schließlich der Lorenz-Attraktor im dreidimensionalen Phasenraum, wobei sich folgende Änderungen des Systems ablesen lassen.

Sigma σ steht in der ersten Gleichung zur Berechnung der Änderung der Konvektionsgeschwindigkeit für die Prandtl-Zahl und ist abhängig von dem Stoff, der sich in Konvektion befindet. Die Prandtl-Zahl eines Fluids, d.h. eines Gases oder einer Flüssigkeit, ist das Verhältnis zwischen der durch innere Reibung (Viskosität) erzeugten Wärme und der abgeführten Wärme. Sigma wird üblicherweise mit dem Wert 10 angegeben.
Parameter r der Gleichung ist die Rayleigh-Zahl als Maß für das Verhalten der Wärmeübertragung innerhalb des Stoffes und erhält meist den Wert 28, und b ist eine Konstante für die Geometrie der Konvektionszellen, standardmäßig 8/3. Parameter h ist der Abstand zwischen den beiden Platten und sollte möglichst klein gewählt werden.

Um diese Gleichungen für die Berechnung der Zustandsänderung des Systems nutzen zu können, müssen sie zunächst integriert werden:

Δx = h⋅σ⋅(-x + y)
Δy = h⋅(r⋅x - y - x⋅z)
Δz = h⋅(-b⋅z + x⋅y)

Diese Änderungswerte werden anschließend zu den ursprünglichen Koordinaten addiert, d.h. es findet eine Iteration statt:

x_n+1 = x_n + h⋅σ⋅(-x_n + y_n)
y_n+1 = y_n + h⋅(r⋅x_n+1 - y_n - x_n+1⋅z)
z_n+1 = z_n + h⋅(-b⋅z_n + x_n+1⋅y_n+1)

Auf der x-Achse kann ein Betrag abgelesen werden, der proportional zur Konvektionsgeschwindigkeit ist. Die y-Werte des Systems repräsentieren die Temperaturdifferenz zwischen auf- und absteigender Flüssigkeit und an der z-Achse wird die Temperaturdifferenz zwischen dem Plattengrund und der oberen Flüssigkeitsdecke abgelesen.

Das Programm lorenz berechnet anhand der drei Gleichungen eine Abbildung des Lorenz-Attraktors, wie beispielsweise in Abbildung 2.4.3b zu sehen ist. Um die Entwicklung des Systems zu verdeutlichen, werden frühe Zustände blau dargestellt, während der Graph zum Ende der Iteration hin in einen roten Farbton übergeht. Das Programm zeigt auch, dass für verschiedene Anfangswerte x₀, y₀ und z₀ sowie andere Werte der Parameter für die Umgebungseigenschaften σ, r und b das System eine völlig andere Entwicklung nimmt. Dennoch bewegt es sich nach einer gewissen Zeit innerhalb bestimmter Grenzen. Dieser Zwang wird durch den Attraktor herbeigeführt, dem sich das System unterwirft.

Lorenzattraktor
Abb. 2.4.3b

Im Falle der seltsamen Attraktoren nähern sich die Systeme allerdings keinen Punkten oder sich wiederholenden Grenzzyklen an, sondern seltsamen Figuren. Der Graph des Systemszustandes kreuzt oder berührt sich im Übrigen niemals, eine Eigenschaft, die allerdings nur im dreidimensionalen Raum aufgezeigt werden kann. Würde er sich nämlich an einem beliebigen Punkt berühren, träten die Iterationswerte an dieser Stelle ein zweites mal auf und es würde sich ein Grenzzyklus ausbilden.
Abbildung 2.4.3b zeigt deutlich, wie sich die Konvektionsgeschwindigkeit (x) und die Temperaturdifferenz (y) des Systems nach kurzen Schwankungen einer festen Umgebung nähern, in der sie verbleiben.

Es liegt ein chaotisches System vor, dessen Zustand sich zu keinem Zeitpunkt wiederholt, aber durch einen Attraktor angezogen wird und deshalb innerhalb gewisser Grenzen bleibt.

3. Fraktale

3.1 Eigenschaften von Fraktalen

Der Begriff Fraktal wurde erstmals durch den polnisch-französischen Mathematiker Benoît B. Mandelbrot (∗1924) verwendet. Er bezeichnet damit eine geometrische Figur, die selbstähnlich ist, das heißt aus Formen zusammengesetzt ist, die innerhalb der Figur wiederholt auftreten. Mandelbrot leitete den Begriff vom lateinischen Adjektiv fractus ab, welches mit in Stücke zerbrochen übersetzt werden kann und damit sehr gut die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit beschreibt: Fraktale bestehen aus einer Vielzahl einander gleichender Fragmente.

Auf allen existierenden Darstellungen von Fraktalen sind lediglich Annäherungen an ihre rein mathematisch definierten Formen zu sehen. Da ihre Erzeugung auf Iteration beruht, sehen wir beim Betrachten von fraktalen Formen, wie sie beispielsweise Computer erzeugen, lediglich eine Stufe dieser Iteration. Das tatsächliche Fraktal ist erst dann erreicht, wenn die Iteration bis zum Unendlichen hin fortgesetzt wird. Dies lässt auf eine weitere Eigenschaft schließen: Fraktale sind unendlich komplex, ihre Ausgangsformen wiederholen sich aufgrund der Selbstähnlichkeit unendlich oft und werden jeweils um einen bestimmten Proportionalitätsfaktor verkleinert. Eine unendlich wiederholte Verschachtelung dieser skalierten Ausgangsform auf begrenztem Raum ergibt schließlich das Fraktal, welches somit skaleninvariant ist, dessen Teile also dem Ganzen gleichen.

Damit man von einem Fraktal sprechen kann, muss seine fraktale Dimension größer sein als seine topologische Dimension (siehe 3.4).

3.2 Konstruktion mit Hilfe von Initiatoren und Generatoren

Zur Erzeugung herkömmlicher Fraktale bedient man sich wie bereits angesprochen dem Hilfsmittel der Iteration. Jedem Fraktal liegt ein bestimmter Algorithmus zugrunde, der im Zuge der Iteration immer wieder mit seinen Ausgabewerten neu gestartet wird.

Das Prinzip der Initiatoren und Generatoren möchte ich an der Kochschen Schneeflocke (Abb. 3.2b) demonstrieren, die aufgrund ihrer Erzeugungsweise aus der Kochkurve (Abb. 3.2a) auch triadische Koch-Insel genannt wird.

Kochkurve

Kochsche Schneeflocke

Ausgangpunkt für die Erzeugung der Kochkurve ist eine gerade Linie, die in drei gleiche Abschnitte unterteilt wird. Auf dem mittleren Abschnitt wird ein gleichseitiges Dreieck erzeugt, dessen Basis anschließend entfernt wird (Abb. 3.2c).

Dieser Vorgang des Dreiteilens und Errichten eines Dreiecks wird nun wiederholt auf alle Seiten der erzeugten Form angewandt (Abb. 3.2d).

Kochsche Schneeflocke

Der Initiator der Kochschen Schneeflocke, d.h. die Ausgangsform, auf die der Algorithmus erstmals angewandt wird, ist ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 3.2e). Der Generator gibt an, was mit den Seiten des Initiators und im Laufe der Iteration mit allen erzeugten Seiten passieren soll. Er ist die in Abbildung 3.2c zu sehende Figur, durch die alle Seiten des Initiators ersetzt werden.

Da dieser Vorgang unendlich lange fortgesetzt werden muss, damit die mathematisch definierte Kochkurve erreicht wird, ist ihre Länge unendlich. Geht man von einer Startlänge a₀=1 für die Waagerechte des Initiators aus, so ist die Länge des Generators 4/3 LE: zur Rechten und Linken des Dreiecks befinden sich jeweils 1/3 LE und jeder Schenkel des Dreiecks ist ebenfalls 1/3 LE lang. In jedem Iterationsschritt wird der Generator um den Faktor 3 verkleinert, seine Anzahl allerdings vervierfacht. Damit ergibt sich für die Kurvenlänge a in Abhängigkeit des Iterationsschrittes n:

Länge der Kochkurve

Das Verhalten der Länge im Unendlichen ist eindeutig erkennbar:

Länge der Kochkurve im Unendlichen

Da die Kochkurve im Unendlichen eine unendliche Länge annimmt, nähert sich auch der Umfang der Kochschen Schneeflocke unendlich.
Die Kochsche Schneeflocke kann mit Hilfe des Programms koch erzeugt werden.

3.3 Selbstähnlichkeit

Das Prinzip der Selbstähnlichkeit wird bei der Kochkurve ebenfalls sichtbar, denn der Generator wird in jedem Iterationsschritt verkleinert, d.h. herunterskaliert, und neu in das Gebilde eingesetzt. Die Kochkurve setzt sich am Ende ihrer Erzeugung aus einer Vielzahl von verwinkelten, skalierten Generatoren zusammen.

Das Programm generator demonstriert die Selbstähnlichkeit so genannter Gerinnsel. Der Generator hat in diesem Fall die Form eines Rechtecks und besteht in seiner Breite und Höhe aus maximal 5 Quadraten, die jeweils den Zustand »ein« (schwarz) oder »aus« (weiß) annehmen können. Die schwarzen Quadrate des Generators werden später durch die skalierte Form des Generators selbst ersetzt. Der Generator kann durch den Benutzer verändert werden, während der Initiator durch das Programm an den Generator angepasst wird und jeweils ein Rechteck darstellt, dessen Maße proportional zu den Seitenverhältnissen des Generators sind.
Beim Starten konstruiert das Programm einen Sierpinski-Teppich (Abb. 3.3c).

Sierpinksi-Teppich

In Abbildung 3.3a ist der Generator des Sierpinski-Teppichs zu sehen, in 3.3b der dazugehörige Initiator. Die schwarze Fläche des Initiator wird nun im ersten Iterationsschritt durch den Generator ersetzt, der selbst aus 16 weißen und schwarzen Quadraten (4x4) besteht. Das entstandene Gebilde gleicht dem Generator und besteht ebenfalls aus 16 Quadraten. Auf die schwarzen Quadrate wird der Generator abermals angewandt — die Iteration nimmt damit ihren Lauf.

Am Ende der Iteration entsteht eine selbstähnliche Figur, deren kleinste Elemente dem Generator gleichen. Diese »Grundelemente« sind in sich wiederholenden Mustern angeordnet, welche wiederum der Struktur der Grundbausteine entsprechen. Da die Struktur dieser Grundelemente in jedem Iterationsschritt lediglich skaliert wurde, kann man davon sprechen, dass sich die Figur aus gleichen Teilen zusammensetzt und damit selbstähnlich ist.

Abbildung 3.3d zeigt den Generator für ein Sierpinski-Dreieck: er ist ein hohles rechtwinkliges, gleichschenkliges Dreieck.

3.4 Die Hausdorff-Besicovitch-Dimension

Der Bereich der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften des geometrischen Raumes und seiner Objekte befasst, ist die Topologie. Ihr Dimensionsbegriff ist relativ einfach nachzuvollziehen. Ein Punkt hat die Dimension 0, eine Strecke die Dimension 1 und eine Fläche ist zweidimensional. Diese herkömmliche, ganzzahlige, topologische Dimension erwies sich in der fraktalen Geometrie allerdings als unbrauchbar. In der Topologie lassen sich Figuren verformen, solange keine invarianten Eigenschaften der Figuren wie Schnittpunkte oder Hohlräume dabei eliminiert werden. Dieser Aussage zufolge ist die topologische Dimension der Kochkurve D_t=1, da sie nichts weiter ist als eine verformte Strecke.

Diese Dimensionsangabe sagte allerdings nichts über die Komplexität der Kurve aus. Einige Mathematiker vertraten den Standpunkt, die Dimension der Kurve müsse zwischen 1 und 2 liegen, da sie eine zweidimensionale Fläche teilweise ausfüllte, d.h. überdeckte.

Als Lösung wurde neben der euklidischen Dimension, die übrigens für die Kochkurve E=2 wäre, da sie sich im zweidimensionalen Raum befindet, und der topologischen Dimension zusätzlich die fraktale Dimension eingeführt, die in Anerkennung ihrer größten Schöpfer auch Hausdorff-Besicovitch-Dimension genannt wurde.

Es existieren verschiedene Möglichkeiten, die fraktale Dimension einer Figur herzuleiten. Eine einfache Formel verwendet die Anzahl selbstähnlicher Teile sowie den (maximalen) Verkleinerungsfaktor, sprich den Faktor, um den der Generator im letzten Iterationsschritt verkleinert wurde.

Fraktale Dimension D

Die Kochkurve hat die fraktale Dimension D≈1,26. Wie bereits bei Herleitung des Grenzwertes für den Umfang der Kochkurve zu ersehen war, besteht die Kurve in Abhängigkeit vom Iterationsschritt n aus N(n)=4^n-1 selbstähnlichen Teilen. Der Verkleinerungfaktor beträgt f_v(n)=3^n-1. Für beliebige n>1 gilt also:

Dimension der Kochkurve: D=1,26

3.5 Die Mandelbrotmenge — Ein berühmtes Fraktal

Sozusagen das Fraktal unter den Fraktalen ist die Mandelbrotmenge, von vielen Menschen auch liebevoll Apfelmännchen genannt. Ihr Name geht zurück auf den bereits in 3.1 angesprochenen Benoît B. Mandelbrot, der die Menge im Rahmen seines Studiums der Juliamenge herleitete. Für jeden Punkt der Mandelbrotmenge existiert eine korrespondierende Juliamenge.

Die Mandelbrotmenge ist eine Zahlenmenge, die unendlich viele komplexe Zahlen enthält. Da komplexe Zahlen aus einem realen und einem imaginären Teil bestehen, kann die Punktmenge in einem Koordinatensystem, der so genannten komplexen Ebene dargestellt werden (Abb. 3.5a)
Um eine Annäherung an die Mandelbrotmenge zu erzeugen, wählt man eine Menge von Punkten in der komplexen Ebene und bestimmt über folgenden Algorithmus, ob sie innerhalb oder außerhalb der Menge liegen.

Aus jedem der Punkte macht man eine komplexe Zahl C, indem man dem Realteil der komplexen Zahl die x-Koordinate des Punktes zuweist und analog dem Imaginärteil der Zahl die y-Koordinate:

C = x + iy

Anschließend iteriert man die folgende Gleichung:

Z_n = Z_n-1² + C mit Z₀ = 0

Überschreitet der Betrag der komplexen Zahl Z_n nun den Wert 2, so nimmt man an, dass sich der Punkt außerhalb der Menge befindet. Die Iteration kann in diesem Fall abgebrochen werden. Punkte innerhalb der Menge weisen im Zuge der Iteration allerdings nie einen Iterationsbetrag von mehr als 2 auf — im Idealfall müsste die Iteration also unendlich lange fortgesetzt werden, um mit Sicherheit sagen zu können, dass der Punkt innerhalb der Menge liegt.

Punkten außerhalb der Menge können zur Verdeutlichung Farben zugewiesen werden, die davon abhängig gemacht werden, wann die Iterationsschleife abgebrochen wurde. Punkte in der Nähe der Menge erhalten dadurch eine andere Farbe als Punkte, die weiter von der Menge entfernt sind. Abbildung 3.5b zeigt eine Darstellung der Mandelbrotmenge nach 16 Iterationsschritten, in der die Bereiche in der Nähe der Menge in Gelbtönen und die ferneren Bereiche in Rottönen dargestellt sind.

Theoretisch wäre es möglich, die Randbereiche unendlichfach zu vergrößern. Immer wieder träfe man bei seinem »Gang in die Menge« auf zerklüftete Formen, die dem Gesamtbild der Mandelbrotmenge gleichen. Die Mandelbrotmenge ist also ein typisches Fraktal: sie ist selbstähnlich und unendlich komplex.

4. Nachwort

Wirkliche Anerkennung und öffentliches Interesse erlangte die Fraktalforschung erst mit der Einführung von Computern, welche die Berechnung der komplexen Graphiken ermöglichten. Viele der bekannteren Fraktale existierten in der Theorie jedoch schon viel eher. Zu nennen wären hier neben vielen anderen Mathematikern Waclaw Sierpinski (1882 – 1969) und Gaston Julia (1893 – 1978), die ohne die Hilfe der Rechenmaschinen wie wir sie heute kennen bereits Algorithmen zur Erzeugung von Konstruktionen oder Punktmengen formulierten, die erst Jahrzehnte später vernünftig erforscht werden konnten.

Benoît B. Mandelbrot leistete hier Pionierarbeit. Er griff viele der bis zu diesem Zeitpunkt größtenteils nur in mathematischen Theoremen existierenden Fraktale auf und erstellte daraus in Zusammenarbeit mit Kollegen an verschiedenen Universitäten Computergraphiken und forschte weiter an der Mathematik hinter diesen Gebilden, die in vielen Fällen auch voller Ästhetik stecken.

Neben reinem Selbstzweck hatte die Fraktalforschung natürlich auch Auswirkungen auf unser Bild der Natur, insbesondere ihre kompliziert erscheinenden Vorgänge. Kritiker der Evolutionstheorie brachten oft hervor, dass derart komplexe Prozesse wie die Bildung von DNA-Ketten oder die Photosynthese nicht auf natürlichem Wege entstanden sein konnten. Die fraktale Geometrie zeigte allerdings, wie mit Hilfe weniger Regeln über einen längeren Zeitraum durchaus sehr komplexe Gebilde erreicht werden können. In diesem Zusammenhang seien zelluläre Automaten zu nennen, die auf der Basis sehr strenger Regeln virtuelle Zellkulturen zum Wachstum und zur Bewegung bringen.¹

Auch die Wirtschaft hat ein gewisses Interesse an der fraktalen Geometrie. Ganze Forscherteams versuchten, bei Börsenkursen bestimmte Regeln und Selbstähnlichkeit zu erkennen, um den Verlauf der Kurse besser einschätzen zu können. Persönlich halte ich diesen Aufwand allerdings für unnütz, da Börsenkurse an das Chaos der Welt, also der Realität gebunden sind, und nicht an die Mathematik. Selbstverständlich fügen auch sie sich den Regeln eines dynamischen Systems, allerdings ist dieses System zu komplex und hängt von zu vielen Faktoren ab, als dass wir es berechnen könnten. Dies läuft auf eine »Berechnung der Zukunft« hinaus, also einen Determinismus, wie ihn bereits Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) Ende des 18. Jahrhunderts in Aussicht stellte, der allerdings durch die Quantenmechanik widerlegt wurde: auf der Quantenebene verhalten sich die Teilchen unvorhersagbar.

Fraktale Algorithmen spielen heute in der Bildkompression und Verschlüsselungstechnik eine zentrale Rolle. Anwendung finden sie auch in der Erdbebenforschung, wo mit ihrer Hilfe die Geometrie der Erdoberfläche untersucht werden kann, speziell an Grabenbrüchen und den Subduktionszonen, an denen sich aufgrund der Plattentektonik eine Erdplatte unter die andere schiebt und dadurch Erschütterungen in der Kruste verursacht werden.

Zusammenfassend möchte ich sagen, dass Fraktale schon seit langem eine gewisse Faszination bei mir weckten, da sie einerseits in den meisten Fällen sehr schön anzusehen sind und bei bestimmten Leuten gar den Picasso ersetzen würden, und ihnen andererseits sehr einfache Regeln der Erzeugung zugrunde liegen, von deren Simplizität ich anfangs recht erstaunt war.

¹ Ein Spiel, das auf dem Prinzip der zellulären Automaten beruht, ist John Conway’s Game of Life, das den Benutzer Formen erzeugen lässt, die sich dann anhand von einem Regelsatz entwickeln. Einige Formen sind »nicht überlebensfähig«: sie sterben im Laufe der Evolution aus. Andere wiederum beginnen zu wachsen, oder sich gar zu bewegen. Das Spiel kann in Form eines JavaApplets im Internet unter http://www.bitstorm.org/gameoflife/ abgerufen werden.

5. Quellen

Herbert Zeitler & Wolfgang Neidhardt: Fraktale und Chaos — Eine Einführung
(Wissenschaftliche Buchgesellschaft, © 1994, 2. Auflage)

http://www.brg-traun.ac.at/IAAC/gmunden/chaostheorie.htm

http://vip.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/chaos/chaos.htm

http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/lorenz/

http://andreas.welcomes-you.com/research/talks/lorenz/